Unidad 3

Tècnicas de Integraciòn

 

Integraciòn por Partes

Toda regla de derivación tiene una regla de integración correspondiente. Por ejemplo, la regla de sustitución para integración corresponde a la regla de la cadena para derivación. La regla que corresponde a la regla del producto para derivación se llama regla para integración por partes. La regla del producto establece que si f y t son funciones derivables, entonces 

 

 

 

 

 

 

En la notación para integrales indefinidas, esta ecuación se convierte en  

 

 

 

 

 

o bien,  

 

 

 

 

 

Esta ecuación se puede reordenar como 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

La fórmula 1 se llama fórmula para integración por partes. Quizás es más fácil recordarla en la siguiente notación.

Sea   u=f(x) y v=g(x) . Entonces las diferenciales son du=f`(x)dx y dv=g`(x)dx; por lo tanto, por la regla de sustitución, la fórmula para integración por partes se convierte en

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Integrales Trigonomètricas
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Para otros casos, las directrices no son tan claras. Podría ser necesario usar identidades,
integración por partes y, ocasionalmente, un poco de inventiva. A veces será necesario
poder integrar tan x por medio de la fórmula establecida en

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Se podría comprobar la fórmula 1 mediante la derivación de lado derecho, o como sigue.
Primero se multiplican numerador y denominador por sec x + tan x:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Si se sustituye u=sec x + tan x, después du=(sec x tan x + sec2x) dx, también, la integral se convierte en x 1u du ln u C. Así, se tiene

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sustituciòn Trigonomètrica

En la determinación del área de un círculo o una elipse, surge una integral de la forma                                                    , donde a>0 . Si fuese                                          , la sustitución                                                            sería efectiva pero,

 

tal y como aparece,                                 es más difícil.

 

Si se cambia la variable de x a Θ por la sustitución x=a sen Θ, entonces la identidad 1-sen2Θ=cos2Θ permite eliminar el signo de la raíz porque

 

 

 

 

Observe la diferencia entre la sustitución                                 (en la que la nueva variable es unafunción de la variable previa) y la sustitución x=a sen Θ (la variable previa es una función de la nueva).

 

 

En general se puede hacer una sustitución de la forma x= g(t) al usar al revés la regla de sustitución. A fin de simplificar los cálculos, se supone que g tiene una función inversa; es decir, g es uno a uno. En este caso, si se reemplazan u por  x y  x por t en la regla de sustitución, se obtiene

 

 

 

 

 

Esta clase de sustitución se llama sustitución inversa. 

Se puede hacer la sustitución inversa x=a sen Θ siempre que ésta defina una función uno a uno. Esto se puede llevar a cabo restringiendo Θ a ubicarse en el intervalo.
En la tabla siguiente se listan las sustituciones trigonométricas que son efectivas para las expresiones con radicales debido a las identidades trigonométricas especificadas. En cada caso la restricción sobre Θ se impone para asegurar que la función que define la sustitución es uno a uno. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES POR FRACCIONES PARCIALES

En esta sección se muestra cómo integrar cualquier función racional (una relación de polinomios) expresándola como una suma de fracciones más simples, llamadas fracciones parciales, que ya sabe cómo integrar. Para ilustrar el método, observe que tomando las fracciones 2/(x-1) y 1/(x+2) para un denominador común, se obtiene

 

 

 

 

 

 

 

 

Si ahora se invierte el procedimiento, se ve cómo integrar la función del lado derecho de esta ecuación:

 

 

 

 

 

 

 

 

Para ver cómo funciona en general el método de fracciones parciales, considere una función racional

 

 

 

 

donde P y O son polinomios. Es posible expresar f como una suma de fracciones más simples, siempre que el grado de P sea menor que el grado de O. Esta clase de función racional se llama propia. Recuerde que si

 

 

 

 

 

donde                   , por lo tanto el grado de P es n y se escribe gra(P)= n.
Si f es impropia, es decir gra(P) ≥ gra(Q), entonces se debe emprender el paso preliminar de dividir O entre P (por división larga) hasta obtener un residuo R(x) tal que gra(R) < gra(Q).

El enunciado de la división es

 

 

 

 

 

donde S y R son también polinomios.

 

RACIONALIZACIÓN DE SUSTITUCIONES
Algunas funciones no racionales se pueden cambiar a funciones racionales por medio de sustituciones apropiadas. En particular, cuando un integrando contiene una expresión de la forma          

 

 

en tal caso la sustitución puede ser efectiva.