Unidad 2

1.1 Extremos en un intervalo

 

• ​Entender la definición de extremos de una función en un intervalo.

• Entender la definición de extremos relativos de una función en un intervalo abierto.

• Encontrar los extremos en un intervalo cerrado.

 

Extremos de una función

1. En el cálculo, se dedica mucho esfuerzo para determinar el comportamiento de una funciónƒ sobre un intervalo I. ¿ƒ tiene un valor máximo en I? ¿Tiene un valor mínimo? ¿Dónde es creciente la función? ¿Dónde es decreciente? En este capítulo se verá cómo las derivadas se utilizan para responder estas preguntas. También por qué los planteamientos anteriores son importantes en las aplicaciones de la vida real.

 

DEFINICIÓN DE EXTREMOS:

 

Sea ƒ definida sobre un intervalo I que contiene a c.
1. ƒ(c) es el mínimo de ƒ en I si ƒ(c) 􀁢 ƒ(x) para toda x en I.
2. ƒ(c) es el máximo de ƒ en I si ƒ(c) 􀁲 ƒ(x) para toda x en I.

 

Los mínimos y máximos de una función en un intervalo son los valores extremos, o simplemente extremos, de la función en el intervalo. El mínimo y el máximo de una función en un intervalo también reciben el nombre de mínimo absoluto y máximo absoluto en el intervalo.TEOREMA 3.1 EL TEOREMA DEL VALOR EXTREMO

 

TEOREMA 1.1 EL TEOREMA DEL VALOR EXTREMO

Si ƒ es continua en el intervalo cerrado [a, b], entonces f tiene tanto un mínimo como un máximo en el intervalo.

 

Extremos relativos y puntos o números críticos
En la figura 3.2, la gráfica de ƒ(x) 􀀕 x3 􀀒 3x2 tiene un máximo relativo en el punto (0, 0) y un mínimo relativo en el punto (2, 􀀒4). De manera informal, para una función continua, es posible que se piense que un máximo relativo ocurre en una “cima” de la gráfica. Y que un mínimo relativo se presenta en un “valle” en la gráfica. Tales cimas y valles pueden ocurrir de dos maneras. Si la cima (o valle) es suave y redondeada, la gráfica tiene una tangente horizontal en el punto alto (o punto bajo). Si la cima (o valle) es angosta y picuda, la gráfica representa una función que no es derivable en el punto alto (o punto bajo).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

DEFINICIÓN DE EXTREMOS RELATIVOS
1. Si hay un intervalo abierto que contiene a c en el cual ƒ(c) es un máximo, entonces ƒ(c) recibe el nombre de máximo relativo de ƒ, o se podría afirmar que ƒ tiene un máximo relativo en (c, ƒ(c)).
2. Si hay un intervalo abierto que contiene a c en el cual ƒ(c) es un mínimo, entonces ƒ(c) recibe el nombre de mínimo relativo de ƒ, o se podría afirmar que ƒ tiene un mínimo relativo en (c, ƒ(c)).

 

El plural de máximo relativo es máximos relativos, y el plural de mínimo relativo
es mínimos relativos. Un máximo relativo y un mínimo relativo algunas veces son
llamados máximo local y mínimo local, respectivamente.

 

DEFINICIÓN DE UN NÚMERO O PUNTO CRÍTICO
Sea ƒ definida en c. Si ƒ􀀙`c)=􀀕0 o si ƒ no es derivable en c, entonces c es un punto crìtico de ƒ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2  LOS EXTREMOS RELATIVOS OCURREN SÓLO EN NÚMEROS O PUNTOS CRÍTICOS
Si ƒ tiene un mínimo relativo o un máximo relativo en x =c, entonces c es un punto crìtico de ƒ.